Funktionens momentana förändringshastighet — hur brant kurvan lutar i en viss punkt. Är derivatan 3 betyder det att y ökar med tre enheter per enhet x just där.

Hur deriverar man ett polynom?

Term för term med potensregeln: multiplicera med exponenten och sänk exponenten med ett. x³ blir 3x², och konstanter försvinner eftersom de inte förändras.

Vad betyder det att derivatan är noll?

Att kurvan är horisontell i punkten. Det är där maximi- och minimipunkter finns, men även terrasspunkter där kurvan planar ut utan att vända.

Hur vet man om det är max eller min?

Andraderivatan avgör. Är den negativ i punkten är det ett maximum, är den positiv ett minimum. Är den noll måste du undersöka teckenväxlingen hos förstaderivatan.

Vad är skillnaden mellan derivata och ändringskvot?

Ändringskvoten är den genomsnittliga förändringen över ett intervall, alltså sekantens lutning. Derivatan är gränsvärdet när intervallet krymper mot noll, alltså tangentens lutning.

Vad betyder f′(x) och dy/dx?

Samma sak. Primnotationen kommer från Lagrange, kvoten från Leibniz. Den senare är tydligare när man deriverar med avseende på en av flera variabler.

Kan alla funktioner deriveras?

Nej. Funktionen måste vara kontinuerlig och sakna hörn i punkten. Absolutbeloppet |x| är kontinuerligt men saknar derivata i noll, eftersom lutningen hoppar från −1 till 1.

Vad används derivator till?

Överallt där en förändringstakt är intressant: hastighet är derivatan av sträckan, acceleration derivatan av hastigheten, marginalkostnad derivatan av totalkostnaden. Optimering — att hitta det bästa värdet — bygger nästan alltid på att sätta derivatan till noll.

Hanterar kalkylatorn sin, cos och e^x?

Inte i uträkningen — den är byggd för polynom, som är det som oftast behövs på gymnasienivå. Reglerna för de övriga funktionerna finns i tabellen på den här sidan.

Derivatakalkylator

Derivera ett polynom och få första- och andraderivatan, lutningen i en vald punkt och de punkter där derivatan är noll. Kalkylatorn hanterar polynom — reglerna för övriga funktioner står i tabellen längre ned.

Uppdaterad 29 augusti 2026

Funktion f(x)

Beräkna i punkten x =

Derivatan f′(x)3x^2 − 4x + 5

Andraderivatan f″(x)6x − 4

f(2)3

f′(2) — lutning9

f″(2)8

Tangentens ekvationy = 9x − 15

Derivatan blir aldrig noll — funktionen är monoton.

f(x) = x^3 − 2x^2 + 5x − 7 · f′(x) = 3x^2 − 4x + 5

Kalkylatorn deriverar polynom. Skriv exponenter med taktecken: x^3. För trigonometriska funktioner, exponentialfunktioner och kvoter finns deriveringsreglerna i tabellen nedanför.

Deriveringsreglerna

f(x)	f′(x)
k (konstant)	0
x	1
xⁿ	n·xⁿ⁻¹
k·f(x)	k·f′(x)
eˣ	eˣ
aˣ	aˣ·ln a
ln x	1/x
sin x	cos x
cos x	−sin x
tan x	1 / cos²x
√x	1 / (2√x)

Trigonometriska derivator förutsätter att x är i radianer.

Sammansättningsreglerna

Regel	Formel	Exempel
Summa	(f + g)′ = f′ + g′	(x² + x)′ = 2x + 1
Produkt	(fg)′ = f′g + fg′	(x·sin x)′ = sin x + x·cos x
Kvot	(f/g)′ = (f′g − fg′) / g²	(1/x)′ = −1/x²
Kedja	f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)	(sin 3x)′ = 3·cos 3x

Ett genomräknat exempel

Ta f(x) = x³ − 2x² + 5x − 7, som är kalkylatorns startvärde. Derivera term för term: 3x² − 4x + 5. Andraderivatan blir 6x − 4. I punkten x = 2 är f(2) = 8 − 8 + 10 − 7 = 3, lutningen f′(2) = 12 − 8 + 5 = 9 och f″(2) = 8. Kurvan går alltså genom (2, 3), lutar brant uppåt och kröker uppåt.

Har derivatan 3x² − 4x + 5 några nollställen? Diskriminanten är 16 − 60 = −44, alltså negativ. Funktionen saknar därför extrempunkter och är växande överallt — vilket kalkylatorn också säger.

Att hitta max och min

Derivera funktionen.
Lös ekvationen f′(x) = 0. Rötterna är de kritiska punkterna.
Sätt in varje rot i andraderivatan. Negativt värde betyder maximum, positivt minimum.
Sätt in roten i den ursprungliga funktionen för att få y-värdet.
Kontrollera intervallets ändpunkter — det största värdet kan ligga där istället.

Derivatan som verktyg utanför matematiken

Ett företag som vill minimera materialåtgången i en förpackning, en ingenjör som söker den vinkel som ger längst kast, en ekonom som letar efter den prisnivå där vinsten är störst — alla ställer samma fråga: var är förändringstakten noll? Det är därför derivatan dyker upp i så vitt skilda sammanhang. Steget från kurva till praktiskt problem är oftast det svåra; själva deriveringen är mekanik.

Från ändringskvot till derivata

Derivatan definieras som gränsvärdet av ändringskvoten när steget går mot noll. För f(x) = x² och punkten x = 3: tar du steget h = 1 blir kvoten (16 − 9)/1 = 7. Med h = 0,1 blir den (9,61 − 9)/0,1 = 6,1. Med h = 0,01 blir den 6,01. Värdena närmar sig 6, vilket är precis vad regeln 2x ger vid x = 3.

Steg h	Ändringskvot vid x = 3
1	7
0,5	6,5
0,1	6,1
0,01	6,01
→ 0	6

Mönstret 6 + h är ingen slump: kvoten för x² är alltid 2x + h, och därför blir gränsvärdet exakt 2x. Det är hela härledningen av potensregeln i miniatyr.

Tangentens ekvation

Tangenten i punkten x = a har ekvationen y = f(a) + f′(a)(x − a). För f(x) = x³ − 2x² + 5x − 7 i punkten x = 2, där f(2) = 3 och f′(2) = 9, blir tangenten y = 3 + 9(x − 2) = 9x − 15. Normalen, som är vinkelrät mot tangenten, har lutningen −1/9.

Derivatan som hastighet

Funktion beskriver	Derivatan beskriver
Sträcka över tid	Hastighet
Hastighet över tid	Acceleration
Totalkostnad per enhet	Marginalkostnad
Vattenvolym över tid	Flöde
Antal smittade över tid	Smittspridningstakt

Det som gör kopplingen användbar är att den fungerar åt båda hållen. Har du en mätserie av hastigheter kan du integrera dig fram till sträckan, och har du sträckan kan du derivera dig fram till hastigheten. Se integralkalkylatorn för den omvända riktningen.

Vanliga frågor

Vad är en derivata?: Funktionens momentana förändringshastighet — hur brant kurvan lutar i en viss punkt. Är derivatan 3 betyder det att y ökar med tre enheter per enhet x just där.
Hur deriverar man ett polynom?: Term för term med potensregeln: multiplicera med exponenten och sänk exponenten med ett. x³ blir 3x², och konstanter försvinner eftersom de inte förändras.
Vad betyder det att derivatan är noll?: Att kurvan är horisontell i punkten. Det är där maximi- och minimipunkter finns, men även terrasspunkter där kurvan planar ut utan att vända.
Hur vet man om det är max eller min?: Andraderivatan avgör. Är den negativ i punkten är det ett maximum, är den positiv ett minimum. Är den noll måste du undersöka teckenväxlingen hos förstaderivatan.
Vad är skillnaden mellan derivata och ändringskvot?: Ändringskvoten är den genomsnittliga förändringen över ett intervall, alltså sekantens lutning. Derivatan är gränsvärdet när intervallet krymper mot noll, alltså tangentens lutning.
Vad betyder f′(x) och dy/dx?: Samma sak. Primnotationen kommer från Lagrange, kvoten från Leibniz. Den senare är tydligare när man deriverar med avseende på en av flera variabler.
Kan alla funktioner deriveras?: Nej. Funktionen måste vara kontinuerlig och sakna hörn i punkten. Absolutbeloppet |x| är kontinuerligt men saknar derivata i noll, eftersom lutningen hoppar från −1 till 1.
Vad används derivator till?: Överallt där en förändringstakt är intressant: hastighet är derivatan av sträckan, acceleration derivatan av hastigheten, marginalkostnad derivatan av totalkostnaden. Optimering — att hitta det bästa värdet — bygger nästan alltid på att sätta derivatan till noll.
Hanterar kalkylatorn sin, cos och e^x?: Inte i uträkningen — den är byggd för polynom, som är det som oftast behövs på gymnasienivå. Reglerna för de övriga funktionerna finns i tabellen på den här sidan.

Relaterade kalkylatorer

Integralkalkylator →Ekvationslösare →Potensräknare →Vetenskaplig kalkylator →

Senast uppdaterad 29 augusti 2026