Vektorkalkylator
Räkna på två vektorer i planet eller rummet: längd, skalärprodukt, kryssprodukt, vinkeln mellan dem och projektionen av den ena på den andra. Kalkylatorn säger till när vektorerna är vinkelräta eller parallella.
a · b = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 32
Formlerna
| Sökt | Formel |
|---|---|
| Längd | |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) |
| Skalärprodukt | a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ |
| Vinkel | cos v = (a·b) / (|a||b|) |
| Kryssprodukt (3D) | a×b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁) |
| Determinant (2D) | a₁b₂ − a₂b₁ |
| Projektion av a på b | (a·b) / |b| |
| Enhetsvektor | â = a / |a| |
Skalärproduktens tecken
| a·b | Vinkel | Betyder |
|---|---|---|
| Positiv | Under 90° | Vektorerna pekar åt ungefär samma håll |
| Noll | Exakt 90° | Vinkelräta (ortogonala) |
| Negativ | Över 90° | Vektorerna pekar åt olika håll |
| |a||b| | 0° | Parallella och åt samma håll |
| −|a||b| | 180° | Parallella men motriktade |
Ett genomräknat exempel
Ta a = (3, 4, 0) och b = (0, 5, 0). Längderna är |a| = √25 = 5 och |b| = 5. Skalärprodukten är 3×0 + 4×5 + 0×0 = 20. Cosinus för vinkeln blir 20 / (5 × 5) = 0,8, alltså vinkeln 36,87 grader. Kryssprodukten blir (4×0 − 0×5, 0×0 − 3×0, 3×5 − 4×0) = (0, 0, 15), vilket pekar rakt ut ur planet och har längden 15 — arean av den parallellogram vektorerna spänner upp.
Varför kryssprodukten pekar ut ur planet
Det finns bara en riktning som är vinkelrät mot två icke-parallella vektorer i rummet, sånär som på tecknet. Vilken av de två som väljs bestäms av högerhandsregeln: peka fingrarna längs den första vektorn, böj dem mot den andra, och tummen visar kryssproduktens riktning. Det gör att a×b och b×a pekar åt motsatta håll — kryssprodukten är antikommutativ.
Vektorer i praktiken
| Storhet | Vektor eller skalär |
|---|---|
| Sträcka | Skalär |
| Förflyttning | Vektor |
| Fart | Skalär |
| Hastighet | Vektor |
| Massa | Skalär |
| Kraft | Vektor |
| Arbete | Skalär (kraft · förflyttning) |
| Vridmoment | Vektor (arm × kraft) |
Skillnaden mellan fart och hastighet syns tydligast i en cirkel: en bil som kör varv på en rundbana i konstant fart har hela tiden en föränderlig hastighet, eftersom riktningen ändras. Det är också anledningen till att den accelererar trots att hastighetsmätaren står still.
Att räkna med riktning i tre dimensioner
Det som gör vektorräkning värdefullt är att alla formler ser likadana ut oavsett antal dimensioner. Skalärprodukten i sju dimensioner räknas precis som i två — summan av komponenternas produkter. Det är därför samma matematik kan användas för att mäta likhet mellan textdokument, där varje ord är en dimension, som för att räkna ut vinkeln mellan två krafter.
Räknelagar för vektorer
| Lag | Gäller? |
|---|---|
| a·b = b·a | Ja |
| a×b = b×a | Nej, a×b = −(b×a) |
| a·(b + c) = a·b + a·c | Ja |
| k(a·b) = (ka)·b | Ja |
| a×a = 0 | Ja, alltid nollvektorn |
| |a + b| = |a| + |b| | Nej, bara om de är parallella |
Den sista kallas triangelolikheten: |a + b| är alltid mindre än eller lika med |a| + |b|. Geometriskt betyder det att den raka vägen aldrig är längre än omvägen — går du tre meter norrut och fyra meter österut har du gått sju meter men befinner dig fem meter från startpunkten.
Att komponentuppdela en kraft
En låda på ett lutande plan påverkas av tyngdkraften rakt nedåt, men bara komponenten längs planet får den att glida. Med lutningsvinkeln v blir den drivande komponenten mg·sin v och den vinkelräta mg·cos v. Vid 30 graders lutning är sinus 0,5, alltså är halva tyngden drivande. Vid 45 grader är båda komponenterna lika stora, cirka 0,707 av tyngden.
| Lutning | Längs planet | Vinkelrätt mot planet |
|---|---|---|
| 10° | 0,174 mg | 0,985 mg |
| 20° | 0,342 mg | 0,940 mg |
| 30° | 0,500 mg | 0,866 mg |
| 45° | 0,707 mg | 0,707 mg |
| 60° | 0,866 mg | 0,500 mg |
Uppdelningen är just en projektion av tyngdkraftsvektorn på två vinkelräta riktningar — samma räkning som kalkylatorn gör.
Vinkeln mellan planets normaler
Ett plan i rummet beskrivs entydigt av sin normalvektor, alltså den vektor som står vinkelrätt mot planet. Vinkeln mellan två plan är därför vinkeln mellan deras normaler, och den räknas med samma skalärproduktsformel som för vilka vektorer som helst. Det är den typen av problem där vektorräkning verkligen sparar arbete: utan den skulle man behöva konstruera skärningslinjen och mäta i den.
Vanliga frågor
- Vad är skalärprodukten?
- Summan av komponenternas produkter: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Resultatet är ett tal, inte en vektor, och det är därför den också kallas inre produkt eller punktprodukt.
- Vad betyder det att skalärprodukten är noll?
- Att vektorerna är vinkelräta mot varandra, förutsatt att ingen av dem är nollvektorn. Det är det snabbaste sättet att testa ortogonalitet.
- Hur räknar man ut vinkeln mellan två vektorer?
- cos v = (a·b) / (|a| × |b|). Ta sedan arcus cosinus. Vektorerna (1, 0) och (1, 1) har skalärprodukten 1, längderna 1 och 1,4142, alltså cos v = 0,7071 och vinkeln 45 grader.
- Hur räknar man ut en vektors längd?
- Med Pythagoras sats i så många dimensioner som behövs: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²). Vektorn (3, 4) har längden 5.
- Vad är kryssprodukten?
- En vektor som är vinkelrät mot båda de ursprungliga, med längden lika med arean av den parallellogram de spänner upp. Den definieras bara i tre dimensioner.
- Vad är skillnaden mellan skalärprodukt och kryssprodukt?
- Skalärprodukten ger ett tal och mäter hur mycket vektorerna pekar åt samma håll. Kryssprodukten ger en vektor och mäter hur mycket de skiljer sig i riktning. Den ena är störst när vektorerna är parallella, den andra när de är vinkelräta.
- Vad är en projektion?
- Skuggan av den ena vektorn på den andra. Skalärt är den (a·b) / |b|, alltså hur långt a sträcker sig i b:s riktning. Inom fysiken är det så man plockar ut kraftkomponenten längs en lutande yta.
- Vad är en enhetsvektor?
- En vektor med längden ett. Du får den genom att dela vektorn med dess egen längd. Den används för att ange enbart riktning, utan storlek.
- Vad används vektorer till?
- All fysik med riktning: kraft, hastighet, acceleration, elektriska fält. Inom datorgrafik beskriver de positioner, ytnormaler och ljusriktningar, och skalärprodukten avgör hur starkt en yta ska belysas.
Relaterade kalkylatorer
Senast uppdaterad 29 augusti 2026