Kvadratrotskalkylator
Kvadratrot, kubikrot och n:te roten ur ett tal. Kalkylatorn visar också om roten går jämnt ut och hur den kan skrivas i exakt form med rottecken.
Exakt form: √50 = 5√2
√50 = 7,07107 · 7,07107^2 = 50
Roten ur 1–20
| Tal | √ tal | Exakt? | Kubikrot |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | Ja | 1 |
| 2 | 1,414 | — | 1,26 |
| 3 | 1,732 | — | 1,442 |
| 4 | 2 | Ja | 1,587 |
| 5 | 2,236 | — | 1,71 |
| 6 | 2,449 | — | 1,817 |
| 7 | 2,646 | — | 1,913 |
| 8 | 2,828 | — | 2 |
| 9 | 3 | Ja | 2,08 |
| 10 | 3,162 | — | 2,154 |
| 11 | 3,317 | — | 2,224 |
| 12 | 3,464 | — | 2,289 |
| 13 | 3,606 | — | 2,351 |
| 14 | 3,742 | — | 2,41 |
| 15 | 3,873 | — | 2,466 |
| 16 | 4 | Ja | 2,52 |
| 17 | 4,123 | — | 2,571 |
| 18 | 4,243 | — | 2,621 |
| 19 | 4,359 | — | 2,668 |
| 20 | 4,472 | — | 2,714 |
Värdena är avrundade till sex värdesiffror. Bara kvadrattalen 1, 4, 9 och 16 har en rot som går jämnt ut i det här spannet.
Räknelagarna
| Lag | Exempel |
|---|---|
| √a × √b = √(ab) | √2 × √8 = √16 = 4 |
| √a / √b = √(a/b) | √18 / √2 = √9 = 3 |
| √(a²) = |a| | √((−5)²) = 5 |
| (√a)² = a | (√7)² = 7 |
| √a = a^(1/2) | √9 = 9^0,5 = 3 |
Observera att √a + √b inte är √(a + b). Roten ur 9 plus roten ur 16 är 3 + 4 = 7, medan roten ur 25 är 5. Additionslagen finns helt enkelt inte, och att tro att den gör det är det vanligaste rotfelet på gymnasiet.
Exakt form
| Uttryck | Förenklat | Decimalt |
|---|---|---|
| √8 | 2√2 | 2,828 |
| √12 | 2√3 | 3,464 |
| √18 | 3√2 | 4,243 |
| √32 | 4√2 | 5,657 |
| √50 | 5√2 | 7,071 |
| √72 | 6√2 | 8,485 |
På prov är den exakta formen ofta det som efterfrågas, eftersom den visar att du kan faktorisera. Metoden är alltid densamma: leta efter den största kvadraten som delar talet, bryt ut den och lämna resten under rottecknet.
Rötterna som är värda att kunna utantill
Tre värden dyker upp så ofta att de sitter i minnet hos alla som räknar mycket: √2 ≈ 1,414, √3 ≈ 1,732 och √5 ≈ 2,236. Den första är diagonalen i en kvadrat med sidan ett och grunden för A-seriens pappersformat. Den andra är höjden i en liksidig triangel med sidan två. Den tredje ingår i det gyllene snittet, (1 + √5)/2 ≈ 1,618.
Herons metod steg för steg
Vill du räkna ut roten ur 10 för hand: börja med gissningen 3. Dela 10 med 3 och du får 3,3333. Medelvärdet av 3 och 3,3333 är 3,1667. Upprepa: 10 / 3,1667 = 3,1579, och medelvärdet blir 3,1623. Det är rätt på fyra decimaler efter två varv. Varje iteration ungefär fördubblar antalet korrekta siffror, vilket är varför metoden fortfarande används i datorers rotberäkningar.
Roten ur decimaltal och stora tal
| Tal | Kvadratrot | Notera |
|---|---|---|
| 0,25 | 0,5 | Roten ur ett tal under ett blir större än talet |
| 0,01 | 0,1 | Två nollor i talet blir en i roten |
| 400 | 20 | Roten ur 4 gånger roten ur 100 |
| 10 000 | 100 | Jämnt antal nollor krävs för jämn rot |
| 1 000 000 | 1 000 | Halva antalet nollor |
Att roten ur 0,25 är större än 0,25 förvånar många. Kvadrering av ett tal mellan noll och ett gör talet mindre, så motsatsen måste göra det större. Regeln är att roten drar alla tal mot ett: större tal blir mindre, mindre tal blir större.
Överslagsräkning i huvudet
Vill du uppskatta roten ur 60 hittar du de närmaste kvadrattalen: 49 och 64. Svaret ligger alltså mellan 7 och 8, och betydligt närmare 8 eftersom 60 ligger nära 64. Gissa 7,7 och kontrollera: 7,7² = 59,29. Nästa gissning 7,75 ger 60,06. Det riktiga värdet är 7,746 — två gissningar räckte för tre korrekta siffror.
Rötter i Pythagoras sats
| Katetrar | Hypotenusa | Exakt? |
|---|---|---|
| 3 och 4 | 5 | Ja |
| 5 och 12 | 13 | Ja |
| 8 och 15 | 17 | Ja |
| 1 och 1 | √2 ≈ 1,414 | Nej |
| 2 och 3 | √13 ≈ 3,606 | Nej |
De tre första är pythagoreiska tripplar — heltalslösningar där roten går jämnt ut. De är ovanliga, och det är just därför de dyker upp så ofta i läroböcker: uppgiften blir snyggare. I verkligheten blir hypotenusan nästan alltid ett irrationellt tal. Kombinationen 3-4-5 används fortfarande av byggare för att kontrollera räta vinklar, med tumstock eller måttband.
Vanliga frågor
- Vad betyder kvadratrot?
- Kvadratroten ur ett tal är det icke-negativa tal som ger talet när det multipliceras med sig självt. Roten ur 49 är 7 eftersom 7 × 7 = 49.
- Hur räknar man ut kvadratroten för hand?
- Gissa, dividera och ta medelvärdet — sedan om igen. För roten ur 10: gissa 3, dela 10/3 = 3,33, medelvärdet är 3,17. Upprepa och du får 3,1623 efter två varv till. Metoden kallas Newtons eller Herons metod och konvergerar mycket snabbt.
- Kan man ta roten ur ett negativt tal?
- Inte inom de reella talen, eftersom inget reellt tal blir negativt när det kvadreras. Inom de komplexa talen definieras roten ur −1 som den imaginära enheten i, vilket ingår i matematik 4.
- Vad är skillnaden mellan √16 och lösningarna till x² = 16?
- Rottecknet betecknar bara det positiva värdet, alltså √16 = 4. Ekvationen x² = 16 har däremot två lösningar, 4 och −4.
- Vad är en kubikrot?
- Det tal som ger talet när det multipliceras med sig självt tre gånger. Kubikroten ur 27 är 3. Till skillnad från kvadratroten går kubikroten bra att ta ur negativa tal: kubikroten ur −8 är −2.
- Hur skriver man en rot som potens?
- Roten ur x är x upphöjt till 1/2, och n:te roten ur x är x upphöjt till 1/n. Det gör att alla potenslagar gäller för rötter också.
- Hur förenklar man √72?
- Bryt ut den största kvadraten som delar talet: 72 = 36 × 2, alltså √72 = 6√2. Det är den exakta formen, medan 8,4853 bara är en avrundning.
- Varför är √2 irrationellt?
- Antag att √2 kunde skrivas som ett förkortat bråk a/b. Kvadrering ger a² = 2b², vilket tvingar både a och b att vara jämna — men då var bråket inte förkortat. Motsägelsen visar att inget sådant bråk finns. Beviset är över tvåtusen år gammalt.
- Vad används kvadratrötter till?
- Överallt där Pythagoras sats dyker upp: diagonaler, avstånd, hypotenusor. Också i standardavvikelsen, som är roten ur variansen, och i formeln för en cirkels radie ur arean.
Relaterade kalkylatorer
Senast uppdaterad 29 augusti 2026