Integralkalkylator
Räkna ut den primitiva funktionen till ett polynom, eller den bestämda integralen mellan två gränser. Kalkylatorn visar primitiva funktionen, värdena i båda gränserna och funktionens medelvärde över intervallet.
∫ från 0 till 3 = F(b) − F(a) = 18 − (0) = 18
Kalkylatorn integrerar polynom. Den bestämda integralen är inte samma sak som arean mellan kurva och x-axel när kurvan byter tecken i intervallet — då tar delarna ut varandra.
Standardintegraler
| f(x) | ∫ f(x) dx |
|---|---|
| k | kx + C |
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C |
| 1/x | ln |x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ / ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1 / cos²x | tan x + C |
| √x | (2/3)·x^(3/2) + C |
Undantaget n = −1 är just därför 1/x integreras till en logaritm — potensregeln skulle kräva division med noll.
Ett genomräknat exempel
Ta f(x) = x² + 2x mellan 0 och 3. Den primitiva funktionen är F(x) = x³/3 + x². Sätt in gränserna: F(3) = 27/3 + 9 = 18 och F(0) = 0. Den bestämda integralen är alltså 18 − 0 = 18. Intervallet är tre enheter långt, så funktionens medelvärde där är 18/3 = 6. En rektangel med bredden 3 och höjden 6 har samma area som ytan under kurvan.
Räknereglerna
| Regel | Formel |
|---|---|
| Konstant faktor | ∫ k·f dx = k · ∫ f dx |
| Summa | ∫ (f + g) dx = ∫ f dx + ∫ g dx |
| Omvända gränser | ∫ₐᵇ f dx = −∫ᵦᵃ f dx |
| Uppdelning | ∫ₐᶜ f dx = ∫ₐᵇ f dx + ∫ᵦᶜ f dx |
| Samma gränser | ∫ₐᵃ f dx = 0 |
Area kontra integral
De är inte samma sak, och det är en klassisk fallgrop. Integralen av sin x från 0 till 2π är noll, eftersom den positiva puckeln och den negativa dalen tar ut varandra exakt. Arean mellan kurvan och axeln är däremot fyra. Frågar uppgiften efter arean måste du hitta nollställena, integrera varje delintervall för sig och summera beloppen.
Vad kalkylatorn inte gör
Den integrerar polynom, vilket täcker det mesta i matematik 3 och 4. Substitution, partialintegration och partialbråksuppdelning ingår inte — det är metoder du behöver behärska själv, och de kräver att man ser strukturen i uttrycket snarare än att man följer ett recept. Många integraler saknar dessutom primitiv funktion i sluten form; det klassiska exemplet är e^(−x²), som ligger till grund för normalfördelningen och bara går att beräkna numeriskt.
Integralen som summa av rektanglar
Innan man har en primitiv funktion kan arean under en kurva uppskattas med rektanglar. Ta f(x) = x² mellan 0 och 1. Med fyra rektanglar där höjden tas i intervallens högerkant blir summan 0,4688; med tio blir den 0,385; med hundra 0,33835. Det exakta värdet är en tredjedel. Ju smalare rektanglar, desto närmare — och integralen är just gränsvärdet när bredden går mot noll.
| Antal rektanglar | Uppskattad area | Fel |
|---|---|---|
| 4 | 0,4688 | +0,135 |
| 10 | 0,3850 | +0,052 |
| 100 | 0,3384 | +0,005 |
| 1 000 | 0,3338 | +0,0005 |
| Exakt | 0,3333… | 0 |
Rektanglarnas höjd tas här i högerkanten, vilket överskattar för en växande funktion. Trapetsregeln, som använder medelvärdet av kanterna, konvergerar betydligt snabbare.
Area mellan två kurvor
Ytan mellan f och g räknas som integralen av skillnaden, med den övre kurvan först. Mellan x = 0 och x = 1 ligger √x ovanför x², och arean är integralen av (√x − x²), alltså 2/3 − 1/3 = 1/3. Metoden fungerar även om båda kurvorna ligger under x-axeln, eftersom skillnaden ändå blir positiv där den övre är övre.
Rotationsvolymer
| Rotation kring | Formel |
|---|---|
| x-axeln | V = π ∫ f(x)² dx |
| y-axeln (skalmetoden) | V = 2π ∫ x·f(x) dx |
Roterar du linjen y = r mellan 0 och h kring x-axeln får du π ∫ r² dx = πr²h — cylinderns volymformel. Roterar du kvartscirkeln y = √(r² − x²) får du 4/3 πr³ genom en halv rotation på vardera sidan, alltså klotets volym. De formler man lär sig utantill i geometrin faller alltså ut ur en enda integral, vilket är ett av de vackrare resultaten i gymnasiematematiken.
Vanliga frågor
- Vad är en integral?
- Summan av oändligt många oändligt tunna bidrag. Geometriskt är den bestämda integralen den area som ligger mellan kurvan och x-axeln, med tecken.
- Hur integrerar man ett polynom?
- Omvänt mot derivering: höj exponenten med ett och dela med den nya exponenten. x² blir x³/3. Glöm inte integrationskonstanten C i den obestämda integralen.
- Varför behövs konstanten C?
- Eftersom derivatan av en konstant är noll finns oändligt många funktioner med samma derivata. x³/3 och x³/3 + 7 deriveras båda till x². C representerar hela den familjen.
- Vad är skillnaden mellan bestämd och obestämd integral?
- Den obestämda ger en funktion, den bestämda ett tal. Den bestämda räknas som F(b) − F(a), och då försvinner C eftersom den finns i båda leden.
- Kan en integral bli negativ?
- Ja. Ligger kurvan under x-axeln blir bidraget negativt. Vill du ha den faktiska arean måste du dela upp intervallet vid nollställena och ta beloppet av varje del.
- Vad är analysens huvudsats?
- Att derivering och integrering är varandras motsatser: om F är en primitiv funktion till f så är integralen från a till b lika med F(b) − F(a). Det är den insikt som binder ihop hela differential- och integralkalkylen.
- Vad betyder integralens medelvärde?
- Integralen delad med intervallets längd — den konstanta nivå som skulle ge samma area. Integralen av x² + 2x från 0 till 3 är 18, och medelvärdet över intervallet blir 6.
- Vad används integraler till?
- Sträcka ur hastighet, arbete ur kraft, laddning ur ström, sannolikhet ur täthetsfunktion, volymer av rotationskroppar. Överallt där något ska summeras kontinuerligt.
- Hanterar kalkylatorn sin, cos och e^x?
- Inte i uträkningen — den arbetar med polynom. Standardintegralerna för de övriga funktionerna står i tabellen på den här sidan.
Relaterade kalkylatorer
Senast uppdaterad 29 augusti 2026