För ekvationen x² + px + q = 0 gäller x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Den förutsätter att koefficienten framför x² är ett — dela hela ekvationen med a först om den inte är det.

Den allmänna formeln x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, som fungerar direkt utan att först dela med a. Den kallas också kvadratkomplettering i färdig form och används mer internationellt än pq-formeln.

Vad är diskriminanten?

Uttrycket under rottecknet, b² − 4ac. Är den positiv finns två lösningar, är den noll finns en dubbelrot och är den negativ finns ingen reell lösning.

Vad betyder det att en ekvation saknar reella lösningar?

Att parabeln aldrig skär x-axeln. Lösningarna finns då som komplexa tal, vilket behandlas i matematik 4 på gymnasiet.

Hur löser man x² = 16?

Skriv om till x² − 16 = 0, alltså a = 1, b = 0, c = −16. Lösningarna blir x = 4 och x = −4. Att bara skriva x = 4 är det klassiska misstaget — kvadratroten ur 16 är 4, men ekvationen har två rötter.

Hur löser man en förstagradsekvation?

Sätt a till noll så växlar kalkylatorn till formen bx + c = 0 och löser x = −c/b. Det är samma sak som att flytta över konstanten och dividera.

Varför blir det ibland en dubbelrot?

När diskriminanten är exakt noll sammanfaller de två lösningarna. Grafiskt betyder det att parabeln tangerar x-axeln i en enda punkt, som x² − 6x + 9 = 0 med roten x = 3.

Kan jag kontrollera svaret?

Ja, och du bör. Sätt in lösningen i den ursprungliga ekvationen och räkna ut vänsterledet. Blir det noll stämmer det. Ett annat snabbtest är att summan av rötterna ska vara −b/a och produkten c/a.

Vad gör jag med ekvationer av högre grad?

Tredje- och fjärdegradsekvationer löses sällan för hand. Faktorisera om du hittar en rot genom att gissa på delare till konstanttermen, annars är numerisk lösning vägen.

Ekvationslösare

Lös förstagradsekvationer och andragradsekvationer med uträkningen synlig. Kalkylatorn visar diskriminanten, vilken formel som använts och varje mellansteg — inte bara svaret.

Uppdaterad 29 augusti 2026

x₁3

x₂2

Diskriminant (b² − 4ac)1

Symmetrilinjex = 2,5

Extrempunkt(2,5, −0,25)

Parabelns riktningöppnar uppåt, minimum

Diskriminanten är positiv — två reella rötter.

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a · D = 1

De två formlerna

Form	Formel	Används när
x² + px + q = 0	x = −p/2 ± √((p/2)² − q)	Koefficienten framför x² är 1
ax² + bx + c = 0	x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a	Alltid
bx + c = 0	x = −c / b	Förstagradsekvation

Formlerna ger samma svar. Svensk skolmatematik lär oftast ut pq-formeln, medan abc-formeln är standard i de flesta andra länder och slipper ett divisionssteg.

Diskriminanten avgör allt

b² − 4ac	Antal reella lösningar	Grafiskt
Positiv	Två	Parabeln skär x-axeln i två punkter
Noll	En (dubbelrot)	Parabeln tangerar x-axeln
Negativ	Ingen reell	Parabeln når aldrig x-axeln

Räkneexempel

Ekvation	Diskriminant	Lösning
x² − 5x + 6 = 0	1	x₁ = 3, x₂ = 2
x² − 6x + 9 = 0	0	x = 3 (dubbelrot)
x² + 2x + 5 = 0	-16	Inga reella lösningar
2x² − 7x + 3 = 0	25	x₁ = 3, x₂ = 0,5
x² + 0x − 16 = 0	64	x₁ = 4, x₂ = −4

Kontrollera med Vietas formler

För ax² + bx + c = 0 gäller att rötternas summa är −b/a och deras produkt är c/a. Ta x² − 5x + 6 = 0 med rötterna 2 och 3: summan är 5, vilket stämmer med −(−5)/1, och produkten är 6, vilket stämmer med 6/1. Det är en tvåsekunderskontroll som fångar de flesta teckenfel.

Vanliga fel

Att glömma minustecknet i −p/2. Har ekvationen +6x ska det bli −3, inte 3.
Att kvadrera fel: (p/2)² när p är negativt ger alltid ett positivt tal.
Att bara ta den positiva roten. Rottecknet ger ett värde, men ± ger två lösningar.
Att använda pq-formeln utan att först dela med a. På 2x² − 7x + 3 = 0 måste du dela hela ekvationen med 2 innan formeln gäller.
Att svara med ett decimaltal när uppgiften vill ha exakt form. √8 ska skrivas 2√2, inte 2,83.

Från praktiskt problem till ekvation

Andragradsekvationer dyker upp så fort en area eller en produkt av två storheter är känd men inte delarna. Ska en rektangulär gräsmatta ha arean 40 kvadratmeter och vara tre meter längre än den är bred, blir sambandet b(b + 3) = 40, alltså b² + 3b − 40 = 0. Diskriminanten blir 169 och bredden 5 meter. Den negativa roten, −8, är matematiskt riktig men saknar mening som ett mått — kom ihåg att tolka svaret mot verkligheten.

Kvadratkomplettering — där formeln kommer ifrån

pq-formeln är inte magi utan en genväg. Ta x² + 6x − 7 = 0. Lägg till och dra bort kvadraten på halva x-koefficienten: x² + 6x + 9 − 9 − 7 = 0, alltså (x + 3)² = 16. Dra roten ur båda leden: x + 3 = ±4, vilket ger x = 1 och x = −7. Gör du samma sak med bokstäver istället för siffror faller pq-formeln ut direkt.

Metoden är värd att kunna för sig själv, eftersom den också används för att skriva om en andragradsfunktion på formen a(x − h)² + k, där (h, k) är parabelns vertex. Det är så man hittar maximum eller minimum utan att derivera.

Ekvationer som inte ser ut som andragradsekvationer

Ekvation	Omskrivning
x⁴ − 5x² + 4 = 0	Sätt t = x², lös t² − 5t + 4 = 0
x + 6/x = 5	Multiplicera med x: x² − 5x + 6 = 0
√(x + 2) = x	Kvadrera: x² − x − 2 = 0, kontrollera rötterna
2ˣ − 6·2⁻ˣ = 1	Sätt t = 2ˣ, lös t² − t − 6 = 0

Vid kvadrering och multiplikation med ett uttryck som kan vara noll kan falska rötter uppstå. Sätt alltid in svaren i den ursprungliga ekvationen.

Grafisk tolkning

Varje andragradsekvation motsvarar en parabel. Koefficienten a avgör om den öppnar uppåt eller nedåt och hur smal den är, symmetrilinjen ligger vid x = −b/2a, och lösningarna är de x-värden där kurvan skär axeln. Det ger en snabb rimlighetskontroll: har du fått två rötter som ligger långt från −b/2a har något gått fel, eftersom de alltid ligger symmetriskt kring symmetrilinjen.

Vanliga frågor

Vad är pq-formeln?: För ekvationen x² + px + q = 0 gäller x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Den förutsätter att koefficienten framför x² är ett — dela hela ekvationen med a först om den inte är det.
Vad är abc-formeln?: Den allmänna formeln x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, som fungerar direkt utan att först dela med a. Den kallas också kvadratkomplettering i färdig form och används mer internationellt än pq-formeln.
Vad är diskriminanten?: Uttrycket under rottecknet, b² − 4ac. Är den positiv finns två lösningar, är den noll finns en dubbelrot och är den negativ finns ingen reell lösning.
Vad betyder det att en ekvation saknar reella lösningar?: Att parabeln aldrig skär x-axeln. Lösningarna finns då som komplexa tal, vilket behandlas i matematik 4 på gymnasiet.
Hur löser man x² = 16?: Skriv om till x² − 16 = 0, alltså a = 1, b = 0, c = −16. Lösningarna blir x = 4 och x = −4. Att bara skriva x = 4 är det klassiska misstaget — kvadratroten ur 16 är 4, men ekvationen har två rötter.
Hur löser man en förstagradsekvation?: Sätt a till noll så växlar kalkylatorn till formen bx + c = 0 och löser x = −c/b. Det är samma sak som att flytta över konstanten och dividera.
Varför blir det ibland en dubbelrot?: När diskriminanten är exakt noll sammanfaller de två lösningarna. Grafiskt betyder det att parabeln tangerar x-axeln i en enda punkt, som x² − 6x + 9 = 0 med roten x = 3.
Kan jag kontrollera svaret?: Ja, och du bör. Sätt in lösningen i den ursprungliga ekvationen och räkna ut vänsterledet. Blir det noll stämmer det. Ett annat snabbtest är att summan av rötterna ska vara −b/a och produkten c/a.
Vad gör jag med ekvationer av högre grad?: Tredje- och fjärdegradsekvationer löses sällan för hand. Faktorisera om du hittar en rot genom att gissa på delare till konstanttermen, annars är numerisk lösning vägen.

Relaterade kalkylatorer

Vetenskaplig kalkylator →Kvadratrotskalkylator →Bråkräknare →Derivatakalkylator →

Senast uppdaterad 29 augusti 2026