Triangelns area och vinklar
Vilken metod du behöver beror på vad du känner till. Här finns fyra: tre sidor, bas och höjd, två sidor med mellanliggande vinkel, och Pythagoras sats för rätvinkliga trianglar.
Rätvinklig triangel.
Herons formel: A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = O/2
Fyra sätt att räkna arean
| Du känner till | Formel | Namn |
|---|---|---|
| Bas och höjd | A = b × h / 2 | Grundformeln |
| Tre sidor | A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) | Herons formel |
| Två sidor och vinkeln mellan | A = ab·sin(C) / 2 | Sinusformeln |
| Två kateter (rätvinklig) | A = a × b / 2 | Specialfall av grundformeln |
I Herons formel är s halva omkretsen, alltså (a + b + c) / 2. Formeln ser krånglig ut men är den enda som klarar sig helt utan vinklar och höjder.
Pythagoras sats
a² + b² = c²
Gäller bara i rätvinkliga trianglar, där c är hypotenusan — den längsta sidan, mitt emot den räta vinkeln. Satsen används både för att räkna ut en okänd sida och för att kontrollera om en vinkel faktiskt är rät.
Pythagoreiska tripplar
Trepar av heltal som exakt uppfyller satsen. De är användbara just för att de inte innehåller några decimaler.
| a | b | c | Kontroll |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 3² + 4² = 25 = 5² |
| 5 | 12 | 13 | 5² + 12² = 169 = 13² |
| 8 | 15 | 17 | 8² + 15² = 289 = 17² |
| 7 | 24 | 25 | 7² + 24² = 625 = 25² |
| 20 | 21 | 29 | 20² + 21² = 841 = 29² |
| 9 | 40 | 41 | 9² + 40² = 1681 = 41² |
3-4-5-metoden används fortfarande på byggen för att få räta hörn utan instrument: mät tre meter längs ena kanten, fyra längs den andra, och justera tills diagonalen är exakt fem. Då är vinkeln rät.
Triangelolikheten
Tre längder bildar bara en triangel om varje sida är kortare än summan av de två andra.
| Sidor | Kontroll | Triangel? |
|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 3 + 4 > 5 | Ja |
| 2, 3, 8 | 2 + 3 < 8 | Nej |
| 5, 5, 10 | 5 + 5 = 10 | Nej — blir en rak linje |
| 7, 10, 12 | 7 + 10 > 12 | Ja |
Gränsfallet där summan är exakt lika stor ger en degenererad triangel — tre punkter på en rak linje, med arean noll.
Triangeltyper
| Typ | Kännetecken |
|---|---|
| Liksidig | Alla tre sidor lika, alla vinklar 60° |
| Likbent | Två sidor lika, två vinklar lika |
| Oliksidig | Alla sidor olika |
| Rätvinklig | En vinkel är 90° |
| Trubbvinklig | En vinkel är större än 90° |
| Spetsvinklig | Alla vinklar under 90° |
Kategorierna överlappar: en triangel kan vara både likbent och rätvinklig, vilket ger vinklarna 90, 45 och 45 grader.
Cosinussatsen
c² = a² + b² − 2ab · cos(C)
Den generaliserar Pythagoras sats till alla trianglar. Är vinkeln C rät blir cos(C) = 0 och sista termen försvinner — kvar står a² + b² = c². Pythagoras är alltså ett specialfall.
Satsen används i kalkylatorn både för att räkna ut den tredje sidan när du angett två sidor och en vinkel, och för att räkna ut vinklarna när du angett tre sidor.
Vanliga frågor
- Hur räknar man ut triangelns area?
- Känner du bas och höjd är arean bas gånger höjd delat med två. Känner du bara de tre sidorna använder du Herons formel: A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) där s är halva omkretsen.
- Vad är Herons formel?
- En formel som ger triangelns area enbart utifrån de tre sidorna, utan att du behöver veta någon höjd eller vinkel. Den tillskrivs Heron från Alexandria, som verkade under första århundradet e.Kr., och är fortfarande det snabbaste sättet att räkna area när man bara mätt sidorna.
- Vad är Pythagoras sats?
- I en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusan lika med summan av kvadraterna på kateterna: a² + b² = c². Den används för att räkna ut den tredje sidan när två är kända.
- Vad är en pythagoreisk trippel?
- Tre heltal som uppfyller Pythagoras sats. 3-4-5 är den mest kända, följd av 5-12-13 och 8-15-17. Byggare använder 3-4-5 för att kontrollera räta vinklar utan vinkelhake.
- Vad är triangelolikheten?
- Summan av två sidor måste alltid vara större än den tredje. Är den inte det går sidorna inte att sätta ihop till en triangel — de når helt enkelt inte fram till varandra. Kalkylatorn varnar när villkoret inte är uppfyllt.
- Hur räknar jag ut vinklarna från sidorna?
- Med cosinussatsen: cos(A) = (b² + c² − a²) ÷ (2bc). Vinkeln fås sedan med arccos. Kalkylatorn gör det automatiskt när du anger tre sidor.
- Vad är cosinussatsen?
- En generalisering av Pythagoras sats till alla trianglar: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). När vinkeln C är 90 grader blir cos(C) noll och formeln övergår i Pythagoras sats.
- Hur räknar jag arean när jag känner två sidor och vinkeln mellan dem?
- A = (a × b × sin C) ÷ 2. Det är ofta det praktiskt enklaste när man mätt i fält, eftersom vinklar är lätta att mäta med telefon.
- Summerar vinklarna alltid till 180 grader?
- I plan geometri, ja — alltid. På en krökt yta som en sfär gäller det inte: en triangel på jordklotet kan ha tre räta vinklar och summera till 270 grader.
Relaterade kalkylatorer
Senast uppdaterad 29 augusti 2026